Lección · tema 1.6.6
Optimización con derivadas
Al terminar podrás
Aplicar la derivada para determinar un valor máximo en un problema de optimización.
Antes de continuar
01 · Aprende
Explicación
En un problema de optimización, una función representa una cantidad que se quiere maximizar o minimizar. Para una función cuadrática, busca primero los puntos críticos, donde la derivada vale cero.
- Deriva la función.
- Iguala la derivada a cero y resuelve para
x. - Determina si el punto es máximo o mínimo mediante la concavidad.
- Sustituye el valor de
xen la función original para obtener el valor extremo.
Si el coeficiente de x² es negativo, la parábola abre hacia abajo y el punto crítico es un máximo.
02 · Observa
Ejemplo resuelto
La utilidad de un negocio se modela con u(x) = -x² + 8x + 5. Determina la utilidad máxima.
- Deriva:
u'(x) = -2x + 8. - Iguala a cero:
-2x + 8 = 0; entoncesx = 4. - El coeficiente de
x²es negativo, así que el punto corresponde a un máximo. - Evalúa:
u(4) = -16 + 32 + 5 = 21.
La utilidad máxima es 21 y ocurre cuando x = 4.
Evita esta confusión
Error frecuente
No sustituyas el punto crítico en la derivada para buscar el valor máximo. La derivada en ese punto es cero; el valor máximo se obtiene al sustituir x en la función original.
03 · Inténtalo
Práctica guiada
- Intenta primero: encuentra el valor de
xque maximizaf(x) = -x² + 6x. Respuesta:f'(x) = -2x + 6; al igualar a cero,x = 3. Como la parábola abre hacia abajo, ahí ocurre el máximo. - Intenta primero: para
g(x) = x² - 4x + 1, ¿el punto crítico es máximo o mínimo? Respuesta: mínimo, porque el coeficiente dex²es positivo y la parábola abre hacia arriba.
Cargando tu avance local.
Comprueba lo que aprendiste
Responde cinco preguntas. Cada respuesta se registra una sola vez y muestra una explicación inmediata.
Pregunta 1 de 5
Pregunta 2 de 5
Pregunta 3 de 5
Pregunta 4 de 5
Pregunta 5 de 5
Idea clave
Termina esta lección
Marca la lección como completada cuando hayas revisado la comprobación.